Como encontrar a área de um segmento circular

Um dos problemas geométricos comuns é calcular a área de um segmento circular - a parte de um círculo delimitada por um acorde e o acorde correspondente de um arco de um círculo.

A área do segmento circular é igual à diferença entre a área do setor circular correspondente e a área do triângulo formada pelos raios do segmento correspondente do setor e o acorde que limita o segmento.

Exemplo 1

O comprimento do acorde que contrai um círculo é igual ao valor de a. A medida do grau do arco correspondente ao acorde é 60 °. Encontre a área do segmento circular.

Solução

Um triângulo formado por dois raios e um acorde é isósceles; portanto, a altura desenhada do topo do ângulo central para o lado do triângulo formado pelo acorde também será o bissetor do ângulo central, diminuindo pela metade e pela mediana, pela metade. Sabendo que o seno do ângulo em um triângulo retângulo é igual à razão do lado oposto à hipotenusa, podemos calcular o raio:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

A área do setor correspondente a um determinado ângulo pode ser calculada pela seguinte fórmula:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

A área do triângulo correspondente ao setor é calculada da seguinte forma:

S ▲ = 1/2 * ah, onde h é a altura desenhada do topo do ângulo central para o acorde. Pelo teorema de Pitágoras, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Consequentemente, S ▲ = √3 / 4 * a².

A área do segmento, calculada como Sseg = Sc - S ▲, é igual a:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Substituindo um valor numérico em vez de a, você pode calcular facilmente o valor numérico da área do segmento.

Exemplo 2

O raio do círculo é igual a a. A medida do grau do arco correspondente ao segmento é 60 °. Encontre a área do segmento circular.