Como resolver sistemas de equações

Não é difícil resolver o sistema de equações usando os métodos básicos para resolver sistemas de equações lineares: o método de substituição e o método de adição.

Manual de instruções

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Vamos considerar métodos para resolver um sistema de equações usando um exemplo de sistema de duas equações lineares com dois valores desconhecidos. Em termos gerais, esse sistema é escrito da seguinte forma (à esquerda, as equações são combinadas com um colchete):

ax + b = c

dx + ey = f, em que

a, b, c, d, e, f são os coeficientes (números específicos) e x e y, como de costume, são desconhecidos. Os números a, b, c, d são chamados coeficientes para incógnitas e c e f são chamados termos livres. A solução para esse sistema de equações é encontrada por dois métodos principais.

A solução do sistema de equações pelo método de substituição.

1. Pegamos a primeira equação e expressamos uma das incógnitas (x) em termos de coeficientes e a outra incógnita (y):

x = (s-por) / a

2. Substitua a expressão obtida por x na segunda equação:

d (c-por) / a + ey = f

3. Resolvendo a equação resultante, encontramos a expressão para y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Substitua a expressão resultante por y na expressão por x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Exemplo: você precisa resolver um sistema de equações:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Encontre o valor de x da primeira equação:

x = (2y + 4) / 3

Substitua a expressão resultante na segunda equação e obtenha uma equação com uma variável (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, de onde obtemos:

y = 1

Agora substituímos o valor encontrado de y na expressão pela variável x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Resposta: x = 2, y = 1.

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Resolvendo um sistema de equações por adição (subtração).

Esse método se reduz à multiplicação de ambos os lados das equações por números (parâmetros), de modo que, como resultado, os coeficientes de uma das variáveis ​​coincidam (possivelmente com o sinal oposto).

No caso geral, ambos os lados da primeira equação devem ser multiplicados por (-d) e ambos os lados da segunda equação por a. Como resultado, obtemos:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Adicionando as equações resultantes, obtemos:

-bdu + aeu = -cd + af, de onde obtemos a expressão para a variável y:

y = (af-cd) / (ae-bd), substituindo a expressão por y em qualquer equação do sistema, obtemos:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

a partir desta equação, encontramos o segundo desconhecido:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Um exemplo Resolva o sistema de equações adicionando ou subtraindo:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Multiplique a primeira equação por (-1) e a segunda por 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Adicionando (termo a termo) ambas as equações, obtemos:

11y = 11

De onde chegamos:

y = 1

Substituímos o valor obtido por y em qualquer uma das equações, por exemplo, na segunda, obtemos:

3x + 9 = 15, de onde

x = 2

Resposta: x = 2, y = 1.