Como resolver equações com raízes
Vídeo: EQUAÇÃO IRRACIONAL - do primeiro grau 2024, Julho
Às vezes nas equações há um sinal da raiz. Parece para muitos estudantes que é muito difícil resolver essas equações “com raízes” ou, mais corretamente, equações irracionais, mas não é assim.
Manual de instruções
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Ao contrário de outros tipos de equações, por exemplo, sistemas de equações quadráticas ou lineares, não existe um algoritmo padrão para resolver equações com raízes ou, mais precisamente, equações irracionais. Em cada caso específico, é necessário selecionar o método de solução mais adequado com base na "aparência" e nos recursos da equação.
A elevação de partes da equação no mesmo grau.
Na maioria das vezes, para resolver equações com raízes (equações irracionais), é usado o aumento de ambos os lados da equação no mesmo grau. Como regra, em um grau igual ao grau da raiz (ao quadrado para raiz quadrada, cubo para raiz cúbica). Deve-se ter em mente que, ao elevar os lados esquerdo e direito da equação em um grau uniforme, ele pode ter raízes "extras". Portanto, neste caso, deve-se verificar as raízes obtidas substituindo-as na equação. Atenção especial na resolução de equações com raízes quadradas (pares) deve ser dada à faixa de valores admissíveis da variável (ODZ). Às vezes, apenas a estimativa do EAD é suficiente para resolver ou simplificar significativamente a equação.
Um exemplo Resolva a equação:
√ (5x-16) = x-2
Esquadramos os dois lados da equação:
(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², de onde obtemos sucessivamente:
5x-16 = x²-4x + 4
h²-4x + 4-5x + 16 = 0
h²-9x + 20 = 0
Resolvendo a equação quadrática obtida, encontramos suas raízes:
x = (9 ± √ (81-4 * 1 * 20)) / (2 * 1)
x = (9 ± 1) / 2
x1 = 4, x2 = 5
Substituindo ambas as raízes encontradas na equação original, obtemos a igualdade correta. Portanto, ambos os números são soluções da equação.
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Método para introduzir uma nova variável.
Às vezes, é mais conveniente encontrar as raízes de uma "equação com raízes" (uma equação irracional) introduzindo novas variáveis. De fato, a essência desse método é simplesmente reduzida a um registro mais compacto da solução, ou seja, em vez de escrever uma expressão volumosa a cada vez, ela é substituída por uma legenda.
Um exemplo Resolva a equação: 2x + √x-3 = 0
Você pode resolver esta equação ao quadrado dos dois lados. No entanto, os próprios cálculos parecerão bastante pesados. Com a introdução de uma nova variável, o processo de decisão se tornará muito mais elegante:
Introduzimos uma nova variável: y = √ x
Então obtemos a equação quadrática ordinária:
2y² + y-3 = 0, com a variável y.
Resolvendo a equação resultante, encontramos duas raízes:
y1 = 1 e y2 = -3 / 2, substituindo as raízes encontradas na expressão pela nova variável (y), obtemos:
√ x = 1 e √ x = -3 / 2.
Como o valor da raiz quadrada não pode ser um número negativo (se você não tocar na área de números complexos), obtemos a única solução:
x = 1.