Como calcular a área de um paralelogramo construído em vetores

Em quaisquer dois vetores não-colineares e diferentes de zero, um paralelogramo pode ser construído. Esses dois vetores contratam um paralelogramo se você combinar sua origem em um ponto. Finalize os lados da figura.

Manual de instruções

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Encontre os comprimentos dos vetores se suas coordenadas forem dadas. Deixe, por exemplo, o vetor A ter coordenadas (a1, a2) no plano. Então o comprimento do vetor A é | A | = √ (a1² + a2²). Da mesma forma, encontramos o módulo do vetor B: | B | = √ (b1² + b2²), onde b1 e b2 são as coordenadas do vetor B no plano.

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A área do paralelogramo é encontrada pela fórmula S = | A | • | B | • sin (A ^ B), onde A ^ B é o ângulo entre os vetores A e B. O seno pode ser encontrado através do cosseno usando a principal identidade trigonométrica: sin²α + cos²α = 1 O cosseno pode ser expresso em termos do produto escalar de vetores escritos em coordenadas.

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O produto escalar de um vetor A por um vetor B é denotado por (A, B). Por definição, é igual a (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). E em coordenadas, o produto escalar é escrito assim: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. A partir daqui, podemos expressar o cosseno do ângulo entre os vetores: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). No numerador, o produto escalar; no denominador, os comprimentos dos vetores.

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Agora podemos expressar o seno a partir da principal identidade trigonométrica: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Se assumirmos que o ângulo α entre os vetores é agudo, o menos com o seno pode ser descartado, deixando apenas o sinal de mais, pois o seno do ângulo agudo só pode ser positivo (ou zero no ângulo zero, mas aqui o ângulo é diferente de zero, isso é exibido na condição não colinearidade de vetores).

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Agora precisamos substituir a expressão de coordenadas pelo cosseno na fórmula senoidal. Depois disso, resta apenas escrever o resultado na fórmula da área do paralelogramo. Se tudo isso for feito e a expressão numérica for simplificada, verifica-se que S = a1 • b2-a2 • b1. Assim, a área do paralelogramo construído nos vetores A (a1, a2) e B (b1, b2) é encontrada pela fórmula S = a1 • b2-a2 • b1.

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A expressão resultante é o determinante da matriz composta pelas coordenadas dos vetores A e B: a1 a2b1 b2.

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De fato, para obter um determinante de uma matriz de dimensão dois, precisamos multiplicar os elementos da diagonal principal (a1, b2) e subtrair disso o produto dos elementos da diagonal lateral (a2, b1).